Lagrange Verfahren

Lagrange Verfahren


Das Lagrange Verfahren wird oft genutzt, um den optimalen Konsumplan zu berechnen. Mithilfe dieses Verfahrens können wir einen Extrempunkt unter einer bestimmten Nebenbedingung finden.

Eine Beispielaufgabe könnte wie folgt lauten:

Der Nutzen eines Haushaltes lässt sich durch folgende Nutzenfunktion beschreiben:

Nutzenfunktion_Lagrange

Der Preis für das Gut x sei px=2€ und für das Gut y sei py=1€.

Berechnen Sie das optimale Konsumbündel des Haushalts bei einem Einkommen von I =60€.


1. Schritt: Aufstellen der Budgetbeschränkung

Der Preis von Gut x mal die Menge von Gut x die wir konsumieren, plus der Preis von Gut y mal die Menge von Gut y soll gleich dem Einkommen (I) sein.

Budgetbeschränkung

2. Schritt: Güterpreise und Einkommen einsetzen und das Einkommen auf die andere Seite der Gleichung bringen:

Budgetbeschränkung_eingesetzt

3. Schritt: Aufstellen der Lagrange Funktion:

Die Lagrange Funktion hängt in diesem Beispiel von drei Parametern ab: x, y und Lambda.

Nun setzen wir die Nutzenfunktion und die Budgetbeschränkung ein. Die Wurzel aus x und y lässt sich dabei umschreiben in x hoch 0,5 bzw. y hoch 0,5. Dann rechnen wir minus Lambda mal die Budgetbeschränkung, die wir nach Null aufgelöst haben.

Lagrange

4. Schritt: Partielle Ableitungen nach x, y und Lambda bilden:

partielle_Ableitungen

5. Schritt: Gleichung (1) und (2) nach Lambda auflösen:

Den negativen Exponenten hoch -0,5 können wir in einen Bruch umschreiben. Dann teilen wir auf beiden Seiten durch 2 und erhalten die erste Gleichung nach Lambda aufgelöst. Das Umschreiben des negativen Exponenten wenden wir auch in der zweiten Gleichung an.

Gleichung_1_2

6. Schritt: Gleichung (1) und (2) gleichsetzen:

Nun können wir über Kreuz multiplizieren, um beide Brüche aufzulösen. Jetzt müssen wir die Gleichung nach x oder y auflösen. In diesem Beispiel wurde nach y aufgelöst.

Gleichsetzen

7. Schritt: Erhaltene Gleichung y=2x in (3) einsetzen:

Um das optimale Konsumbündel aus x und y zu erhalten, setzen wir im letzten Schritt die erhaltene Gleichung y=2x in Gleichung 3 ein und erhalten die optimale Konsummenge von x. Jetzt können wir diese Menge 15 in y einsetzen und erhalten für y=30.

Der Lagrange Ansatz liefert uns die Lösungen x=15 und y=30.

eingesetzt_in3

Die Erklärung im Videoformat gibt es hier

▶ Lagrange Verfahren ◀ Schritt für Schritt erklärt | nachhilfecoach.tv

Lagrange Verfahren

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Das Lagrange Verfahren wird oft genutzt, um den optimalen Konsumplan zu berechnen. Mithilfe dieses Verfahrens können wir einen Extrempunkt unter einer bestimmten Nebenbedingung finden.

Eine Beispielaufgabe könnte wie folgt lauten:

Der Nutzen eines Haushaltes lässt sich durch folgende Nutzenfunktion beschreiben:

Nutzenfunktion_Lagrange

Der Preis für das Gut x sei px=2€ und für das Gut y sei py=1€.

Berechnen Sie das optimale Konsumbündel des Haushalts bei einem Einkommen von I =60€.


1. Schritt: Aufstellen der Budgetbeschränkung

Der Preis von Gut x mal die Menge von Gut x die wir konsumieren, plus der Preis von Gut y mal die Menge von Gut y soll gleich dem Einkommen (I) sein.

Budgetbeschränkung

2. Schritt: Güterpreise und Einkommen einsetzen und das Einkommen auf die andere Seite der Gleichung bringen:

Budgetbeschränkung_eingesetzt

3. Schritt: Aufstellen der Lagrange Funktion:

Die Lagrange Funktion hängt in diesem Beispiel von drei Parametern ab: x, y und Lambda.

Nun setzen wir die Nutzenfunktion und die Budgetbeschränkung ein. Die Wurzel aus x und y lässt sich dabei umschreiben in x hoch 0,5 bzw. y hoch 0,5. Dann rechnen wir minus Lambda mal die Budgetbeschränkung, die wir nach Null aufgelöst haben.

Lagrange

4. Schritt: Partielle Ableitungen nach x, y und Lambda bilden:

partielle_Ableitungen

5. Schritt: Gleichung (1) und (2) nach Lambda auflösen:

Den negativen Exponenten hoch -0,5 können wir in einen Bruch umschreiben. Dann teilen wir auf beiden Seiten durch 2 und erhalten die erste Gleichung nach Lambda aufgelöst. Das Umschreiben des negativen Exponenten wenden wir auch in der zweiten Gleichung an.

Gleichung_1_2

6. Schritt: Gleichung (1) und (2) gleichsetzen:

Nun können wir über Kreuz multiplizieren, um beide Brüche aufzulösen. Jetzt müssen wir die Gleichung nach x oder y auflösen. In diesem Beispiel wurde nach y aufgelöst.

Gleichsetzen

7. Schritt: Erhaltene Gleichung y=2x in (3) einsetzen:

Um das optimale Konsumbündel aus x und y zu erhalten, setzen wir im letzten Schritt die erhaltene Gleichung y=2x in Gleichung 3 ein und erhalten die optimale Konsummenge von x. Jetzt können wir diese Menge 15 in y einsetzen und erhalten für y=30.

Der Lagrange Ansatz liefert uns die Lösungen x=15 und y=30.

eingesetzt_in3

Die Erklärung im Videoformat gibt es hier